Đạo Hàm Căn Bậc 3: Công Thức và Cách Tính Chính Xác

Đạo hàm căn bậc 3 là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11, xuất hiện thường xuyên trong đề thi và bài kiểm tra. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết công thức tính đạo hàm căn bậc 3 kèm ví dụ minh họa cụ thể.

Khái Niệm Đạo Hàm Cơ Bản

Khái niệm đạo hàm trong toán họcĐạo hàm thể hiện tốc độ biến thiên của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), với x₀ ∈ (a;b). Đạo hàm của hàm số tại x₀ là giới hạn:

f'(x₀) = lim[x→x₀] [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀)

Đặt Δx = x – x₀ và Δy = f(x₀ + Δx) – f(x₀), ta có:

f'(x₀) = lim[Δx→0] Δy/Δx

Trong đó:

• Δx: số gia của đối số tại x₀
• Δy: số gia tương ứng của hàm số

Công Thức Đạo Hàm Hàm Căn Thức

Trước khi tính đạo hàm căn bậc 3, cần nắm vững công thức đạo hàm căn bậc 2:

(√x)' = 1/(2√x)
(√u)' = u'/(2√u)  [với u là hàm hợp]

Khi gặp căn thức ở mẫu hoặc căn bậc cao, biến đổi về dạng lũy thừa:

• ⁿ√u = u^(1/n)
• ⁿ√(u^m) = u^(m/n)
• (u^α)' = α·u^(α-1)·u'
• (1/u)' = -u'/u²

Ví Dụ Tính Đạo Hàm Căn Bậc 2

Bài 1: y = √(2x)

y' = (2x)'/(2√(2x)) = 2/(2√(2x)) = 1/√(2x)

Bài 2: y = √(2x² + 1)

y' = (2x² + 1)'/(2√(2x² + 1)) = 4x/(2√(2x² + 1)) = 2x/√(2x² + 1)

Bài 3: y = 1/√(2x + 1)

y' = -[√(2x + 1)]'/[(2x + 1)]
   = -2/[2√(2x + 1)·(2x + 1)]
   = -1/[(2x + 1)√(2x + 1)]

Bài 4: y = √(x + √x) với x > 0

y' = (1 + 1/(2√x))/(2√(x + √x))
   = (2√x + 1)/(4√x·√(x + √x))

Bài 5: y = sin√(x + 1)

y' = [√(x + 1)]'·cos√(x + 1)
   = 1/(2√(x + 1))·cos√(x + 1)
   = cos√(x + 1)/(2√(x + 1))

Công Thức Đạo Hàm Căn Bậc 3

Để tính đạo hàm căn bậc 3, áp dụng quy tắc lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

³√u = u^(1/3)

Công thức đạo hàm:

(u^(1/3))' = (1/3)·u'·u^(-2/3)
           = u'/(3·³√(u²))

Mẹo ghi nhớ: Đạo hàm căn bậc n có dạng u’/(n·ⁿ√(u^(n-1)))

Các Bước Tính Đạo Hàm Căn Bậc 3

1. Viết lại biểu thức dưới dạng lũy thừa: ³√u = u^(1/3)
2. Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp: (u^α)’ = α·u^(α-1)·u’
3. Rút gọn kết quả về dạng căn thức nếu cần

Ví Dụ Minh Họa

Bài 1: y = ³√(x²)

y = x^(2/3)
y' = (2/3)·x^(-1/3)
   = 2/(3·³√x)

Bài 2: y = ³√(x² + 1)

y = (x² + 1)^(1/3)
y' = (1/3)·(x² + 1)'·(x² + 1)^(-2/3)
   = (1/3)·2x·(x² + 1)^(-2/3)
   = 2x/(3·³√[(x² + 1)²])

Bài 3: y = ⁵√(2x + 3)

y = (2x + 3)^(1/5)
y' = (1/5)·(2x + 3)^(-4/5)·2
   = 2/(5·⁵√[(2x + 3)⁴])

Bài 4: y = ⁵√[(2x² + 1)³]

y = (2x² + 1)^(3/5)
y' = (3/5)·(2x² + 1)^(-2/5)·4x
   = 12x/(5·⁵√[(2x² + 1)²])

Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Tính đạo hàm y = ³√(3x – 2)

Bài 2: Tính đạo hàm y = ³√(x³ + x)

Bài 3: Tính đạo hàm y = 1/³√(x² – 1)

Bài 4: Tính đạo hàm y = ³√[(2x + 1)²]

Lưu ý quan trọng: Khi tính đạo hàm căn bậc 3, luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số. Với căn bậc lẻ, biểu thức trong căn có thể âm, nhưng cần chú ý khi có mẫu số.

Sai Lầm Thường Gặp

Lỗi 1: Quên nhân với đạo hàm của hàm trong (u’)

Sai: (³√(x² + 1))' = 1/(3·³√[(x² + 1)²])
Đúng: (³√(x² + 1))' = 2x/(3·³√[(x² + 1)²])

Lỗi 2: Nhầm lẫn giữa căn bậc 2 và căn bậc 3

Căn bậc 2: (√u)' = u'/(2√u)
Căn bậc 3: (³√u)' = u'/(3·³√(u²))

Lỗi 3: Sai khi rút gọn lũy thừa âm

u^(-2/3) = 1/u^(2/3) = 1/³√(u²)

Nắm vững công thức đạo hàm căn bậc 3 và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn giải quyết dễ dàng các bài toán liên quan trong chương trình Toán 11 và 12.

Ngày cập nhật mới nhất 09/03/2026 by Chef Kim