Trong hình học phẳng, công thức bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác là hai công thức quan trọng giúp giải quyết nhiều bài toán thực tế. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách áp dụng các công thức này kèm ví dụ minh họa cụ thể.
Các Công Thức Cơ Bản
Cho tam giác ABC với các ký hiệu:
- BC = a, CA = b, AB = c (độ dài ba cạnh)
- R: bán kính đường tròn ngoại tiếp
- r: bán kính đường tròn nội tiếp
- p: nửa chu vi tam giác
- S: diện tích tam giác
Công Thức Bán Kính Đường Tròn Nội Tiếp
Công thức bán kính đường tròn nội tiếp tam giác được tính theo công thức:
r = S/pTrong đó:
- S là diện tích tam giác
- p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi
Mẹo thực tế: Để tính nhanh diện tích S, bạn có thể sử dụng công thức Heron: S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]. Công thức này đặc biệt hữu ích khi biết độ dài ba cạnh nhưng chưa biết góc.
Công Thức Bán Kính Đường Tròn Ngoại Tiếp
Bán kính đường tròn ngoại tiếp có nhiều dạng tính toán:
R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC) = abc/(4S)Tùy vào dữ kiện đề bài, chọn công thức phù hợp để tính toán nhanh nhất.
Minh họa đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác với các yếu tố r, R, và các cạnh a, b, c
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Bài Toán 1: Tính R Khi Biết Hai Cạnh và Góc Xen Giữa
Đề bài: Tam giác ABC có a = 25, b = 5 và C = 30°. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Lời giải:
Bước 1: Tính cạnh c bằng định lý cosin:
c² = a² + b² - 2ab·cosC
c² = 25² + 5² - 2·25·5·cos30°
c² = 625 + 25 - 250·(√3/2)
c² ≈ 433,5
c ≈ 20,8Bước 2: Áp dụng định lý sin:
R = c/(2sinC) = 20,8/(2·sin30°) = 20,8/(2·0,5) = 20,8Đáp án: R ≈ 20,8
Lưu ý: Khi tính toán với góc 30°, 45°, 60°, nên nhớ các giá trị lượng giác đặc biệt để tính nhanh hơn.
Bài Toán 2: Tính Cả r và R Khi Biết Ba Cạnh
Đề bài: Tam giác ABC có a = 300, b = 270, c = 180. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.
Lời giải:
Bước 1: Tính nửa chu vi:
p = (300 + 270 + 180)/2 = 375Bước 2: Tính diện tích bằng công thức Heron:
S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
S = √[375·75·105·195]
S ≈ 23.997Bước 3: Tính R:
R = abc/(4S) = (300·270·180)/(4·23.997) ≈ 151,9Bước 4: Tính r:
r = S/p = 23.997/375 ≈ 64Đáp án: R ≈ 151,9 và r ≈ 64
Bài Toán 3: Dạng Tham Số
Đề bài: Tam giác MNE có ME = 10, M = 35°, E = 85°. Biết R = (a√3)/b, tính S = 2a + b.
Lời giải:
Bước 1: Tính góc N:
N = 180° - (35° + 85°) = 60°Bước 2: Áp dụng định lý sin:
R = ME/(2sinN) = 10/(2·sin60°) = 10/(2·√3/2) = 10/√3 = (10√3)/3Bước 3: So sánh với R = (a√3)/b:
(10√3)/3 = (a√3)/b
→ a = 10, b = 3Bước 4: Tính S:
S = 2·10 + 3 = 23Đáp án: S = 23
Mẹo: Khi gặp dạng bài có tham số, hãy rút gọn biểu thức chứa căn thức trước khi so sánh hệ số.
Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp:
a) b = 16, c = 18 và A = 60°
b) a = 8, b = 5, c = 9
Bài 2: Tam giác ABC có AB = 36, AC = 28 và A = 120°. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp. Tính diện tích tam giác IBC.
Bài 3: Tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB = 15, BC = 8, CA = 17.
a) Tính diện tích và công thức bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
b) Tính diện tích tam giác GBC
Bài 4: Tam giác MNE có ME = 15cm, M = 70°, E = 80°. Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác MNE.
Bài 5: Tam giác ABC cân tại A có A = 150° và AB = 12cm. Biết R = (a√2 + b)/6, tính T = 2ab.
Mối Liên Hệ Giữa r và R
Trong tam giác bất kỳ, tồn tại công thức Euler liên hệ giữa bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp:
OI² = R² - 2RrTrong đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp, I là tâm đường tròn nội tiếp.
Bí quyết: Đối với tam giác đều, ta có r = R/2. Đây là trường hợp đặc biệt giúp kiểm tra nhanh kết quả tính toán.
Ứng Dụng Thực Tế
Công thức bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp không chỉ xuất hiện trong bài toán hình học thuần túy mà còn ứng dụng trong:
- Thiết kế kiến trúc: tính toán kết cấu mái vòm tam giác
- Kỹ thuật cơ khí: thiết kế bánh răng và ổ bi
- Đo đạc địa hình: xác định vị trí điểm trong tam giác đo đạc
Nắm vững các công thức này giúp bạn giải quyết nhanh các bài toán hình học phẳng và áp dụng linh hoạt trong thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên với các dạng bài khác nhau để thành thạo kỹ năng tính toán.
Ngày cập nhật mới nhất 09/03/2026 by Chef Kim
Chef Kim là người phụ trách phát triển hương vị và nội dung ẩm thực tại Korea House – Delivery Korea Food. Với kinh nghiệm trực tiếp trong bếp và sự am hiểu các món ăn Hàn Quốc quen thuộc, Chef Kim tập trung chia sẻ cách chế biến đơn giản, nguyên liệu dễ tìm và hương vị phù hợp khẩu vị người Việt, dựa trên quá trình nấu thử và phản hồi thực tế từ khách hàng.
