Bạn đang tìm kiếm bộ công thức lượng giác đầy đủ, dễ hiểu để chinh phục các bài toán THPT? Bài viết này tổng hợp toàn bộ công thức từ cơ bản đến nâng cao, kèm mẹo ghi nhớ thông minh giúp bạn học nhanh và áp dụng hiệu quả.
Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn Trong Tam Giác Vuông
Minh họa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông với các cạnh đối, kề và huyền
Trong tam giác vuông, công thức lượng giác của góc nhọn được định nghĩa qua tỉ số các cạnh:
- sin α = cạnh đối / cạnh huyền
- cos α = cạnh kề / cạnh huyền
- tan α = cạnh đối / cạnh kề
- cot α = cạnh kề / cạnh đối
Mẹo ghi nhớ nhanh: “Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn”
Hệ Thức Cơ Bản Giữa Các Tỉ Số Lượng Giác
Các công thức lượng giác cơ bản nhất mà bạn cần thuộc nằm lòng:
sin²α + cos²α = 1
Từ đây suy ra:
- sin²α = 1 – cos²α
- cos²α = 1 – sin²α
tan α = sin α / cos α
cot α = cos α / sin α
tan α · cot α = 1
1 + tan²α = 1/cos²α
1 + cot²α = 1/sin²α
Lưu ý thực tế: Công thức sin²α + cos²α = 1 là nền tảng để biến đổi hầu hết các bài toán lượng giác. Hãy ưu tiên ghi nhớ công thức này trước tiên.
Công Thức Cộng Lượng Giác
Các công thức cộng lượng giác cơ bản bao gồm: sin(a ± b) = sin a · cos b ± cos a · sin b
cos(a + b) = cos a · cos b – sin a · sin b
cos(a – b) = cos a · cos b + sin a · sin b
tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 – tan a · tan b)
tan(a – b) = (tan a – tan b) / (1 + tan a · tan b)
Mẹo ghi nhớ: “Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ. Tan thì tan nổi tan kia chia cho mẫu số 1 trừ tan tan.”
Công Thức Góc Liên Kết Trên Đường Tròn Lượng Giác
Hai góc đối nhau
- cos(-x) = cos x
- sin(-x) = -sin x
- tan(-x) = -tan x
- cot(-x) = -cot x
Hai góc bù nhau (tổng π)
- sin(π – x) = sin x
- cos(π – x) = -cos x
- tan(π – x) = -tan x
- cot(π – x) = -cot x
Hai góc phụ nhau (tổng π/2)
- sin(π/2 – x) = cos x
- cos(π/2 – x) = sin x
- tan(π/2 – x) = cot x
- cot(π/2 – x) = tan x
Hai góc hơn kém π
- sin(π + x) = -sin x
- cos(π + x) = -cos x
- tan(π + x) = tan x
- cot(π + x) = cot x
Mẹo siêu tốc: “Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π”
Công Thức Nhân Đôi, Nhân Ba, Nhân Bốn
Nhân đôi
sin 2x = 2 sin x · cos x
cos 2x = cos²x – sin²x = 2cos²x – 1 = 1 – 2sin²x
tan 2x = 2 tan x / (1 – tan²x)
Cách nhớ: “Sin gấp đôi bằng 2 sin cos, Cos gấp đôi bằng bình phương cos trừ đi bình sin”
Nhân ba
sin 3x = 3 sin x – 4 sin³x
cos 3x = 4 cos³x – 3 cos x
tan 3x = (3 tan x – tan³x) / (1 – 3 tan²x)
Nhân bốn
sin 4x = 4 sin x · cos x · (1 – 2 sin²x)
cos 4x = 1 – 8 sin²x · cos²x
Mẹo từ kinh nghiệm: Khi gặp bài toán có góc 2x, 3x, 4x, hãy nghĩ ngay đến việc sử dụng công thức nhân để đưa về góc x đơn giản hơn.
Công Thức Hạ Bậc
Các công thức hạ bậc cơ bản: sin²x = (1 – cos 2x) / 2
cos²x = (1 + cos 2x) / 2
tan²x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x)
sin³x = (3 sin x – sin 3x) / 4
cos³x = (3 cos x + cos 3x) / 4
Công thức hạ bậc cực kỳ hữu ích khi tính tích phân hoặc giải phương trình có lũy thừa bậc cao.
Biến Đổi Tổng Thành Tích
sin a + sin b = 2 sin[(a+b)/2] · cos[(a-b)/2]
sin a – sin b = 2 cos[(a+b)/2] · sin[(a-b)/2]
cos a + cos b = 2 cos[(a+b)/2] · cos[(a-b)/2]
cos a – cos b = -2 sin[(a+b)/2] · sin[(a-b)/2]
Cách nhớ: “Tính sin tổng ta lập tổng sin cô, Tính cô tổng lập ta hiệu đôi cô đôi chàng”
Biến Đổi Tích Thành Tổng
sin a · sin b = [cos(a-b) – cos(a+b)] / 2
cos a · cos b = [cos(a-b) + cos(a+b)] / 2
sin a · cos b = [sin(a+b) + sin(a-b)] / 2
Nghiệm Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Phương trình sin x = m
- Nếu |m| > 1: phương trình vô nghiệm
- Nếu |m| ≤ 1: x = arcsin(m) + k2π hoặc x = π – arcsin(m) + k2π (k ∈ ℤ)
Phương trình cos x = m
- Nếu |m| > 1: phương trình vô nghiệm
- Nếu |m| ≤ 1: x = ± arccos(m) + k2π (k ∈ ℤ)
Phương trình tan x = m
x = arctan(m) + kπ (k ∈ ℤ)
Phương trình cot x = m
x = arccot(m) + kπ (k ∈ ℤ)
Bảng Giá Trị Lượng Giác Các Góc Đặc Biệt
| Góc | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1/2 | -√2/2 | -√3/2 | -1 |
| tan | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ∞ | -√3 | -1 | -1/√3 | 0 |
| cot | ∞ | √3 | 1 | 1/√3 | 0 | -1/√3 | -1 | -√3 | ∞ |
Mẹo ghi nhớ giá trị sin: Với các góc 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, giá trị sin lần lượt là √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2
Dấu Của Các Tỉ Số Lượng Giác Theo Góc Phần Tư
| Góc phần tư | I (0°-90°) | II (90°-180°) | III (180°-270°) | IV (270°-360°) |
|---|---|---|---|---|
| sin x | + | + | – | – |
| cos x | + | – | – | + |
| tan x | + | – | + | – |
| cot x | + | – | + | – |
Quy tắc đơn giản: Phần tư I: tất cả dương. Phần tư II: chỉ sin dương. Phần tư III: chỉ tan, cot dương. Phần tư IV: chỉ cos dương.
Công Thức Nâng Cao Bổ Sung
Đặt t = tan(x/2), ta có các biểu diễn hữu ích:
sin x = 2t / (1 + t²)
cos x = (1 – t²) / (1 + t²)
tan x = 2t / (1 – t²)
Công thức này đặc biệt hiệu quả khi giải phương trình lượng giác phức tạp hoặc tính tích phân hàm lượng giác.
Với bộ công thức lượng giác đầy đủ này, bạn đã có trong tay công cụ mạnh mẽ để chinh phục mọi dạng bài toán THPT. Hãy luyện tập thường xuyên và áp dụng các mẹo ghi nhớ để công thức trở thành phản xạ tự nhiên khi làm bài.
Ngày cập nhật mới nhất 12/03/2026 by Chef Kim
Chef Kim là người phụ trách phát triển hương vị và nội dung ẩm thực tại Korea House – Delivery Korea Food. Với kinh nghiệm trực tiếp trong bếp và sự am hiểu các món ăn Hàn Quốc quen thuộc, Chef Kim tập trung chia sẻ cách chế biến đơn giản, nguyên liệu dễ tìm và hương vị phù hợp khẩu vị người Việt, dựa trên quá trình nấu thử và phản hồi thực tế từ khách hàng.
